解答GMAT考试数学余数题方法

    我在自己的讨论稿文档里，求GMAT考试余数的时候，都会用到mod这个运算符。

mod：模。意思就是求余数。

    比如说：5 mod 3=2， 100 mod 11=1

读作：五模三余二，一百模十一余一

    这是标准的公式化写法，大家可能不太熟悉GMAT数学，但是知道意思了，其实也很简单。引入Mod，主要是可以用数学公式来写，而且可以把求余数的问题化简成为普通的四则运算的问题，也比较容易表达。

    在讲如何求余之前，先来普及一下余数的一些性质。

    首先就是余数的加减法：比如说100除以7余2，36除以7余1。那么100+36除以7余几呢?或者100-36除以7余几呢?很显然，只要用100除以7的余数2与36除以7的余数1进行加减就可以得到答案。通过这个例子可以很明显的看出来，余数之间是可以加减的。

    总结写成书面的公式的话，就是：(M+N) mod q=((M mod q)+(N mod q)) mod q

然后我们再看余数的乘法：我们继续来看上面这个例子，如果要求100*36除以7的余数是多少，该怎么求呢?

我们不妨来这样分析GMAT考试技巧的做法：

100=98+2=7*14+2，36=35+1=7*5+1;

这时100*36=(7*14+2)(7*5+1)=7*14*7*5 + 2*7*5 + 7*14*1 + 2*1

    很明显，100*36除以7的余数就等于2*1=2于是我们可以得出这样的一个结论：求M*N除以q的余数，就等于M除以q的余数 乘以 N除以q的余数。

    类似的，如果是求N^m 除以q的余数呢?只要我们将N^m=N*N*N*...*N，也就是说分别地用每个N除以q的余数相乘，一共m个，得出的结果再对q求余数，即可求出结果。

    举例来说：求11^4除以9的余数。化成公式即是：11^4 mod 9=?11^4 mod 9 = (9+2)^4 mod 9 = 2^4 mod 9 =16 mod 9 = 7

于是我们可以总结出这样的公式：M*N mod q=(M mod q)*(N mod q) mod q( M^n mod q = (M mod q)^n mod q )那么，我们知道了这些性质之后对解题又有什么帮助呢?

As we all know，如果一个数乘以1，还是等于原数;而1的任意次方，还是等于1。

所以在解答这一类的问题的时候，只要我们尽量把计算中的余数凑成与1相关的乘式，结果显然会好算很多的。(或者-1，2之类的比较容易进行计算的数字都可以，因题而异。)

举例说明：求3^11除以8的余数。题目即是：3^11 mod 8=?

3^11 mod 8

=3^10 * 3^1 (mod 8)

=(3^2)^5*(3^1) (mod 8)

=9^5 * 3 (mod 8)

=(8+1)^5 * 3 (mod 8)

=1^5 *3 (mod 8)

=3发现没有，甚至没有去计算什么尾数的规律，答案就算出来了，而且只用了加减乘除。

那么再来看一道题目：求 (2^100)*(3^200) 除以7的余数

先化成计算公式：

(2^100)*(3^200) mod 7

=[2^(3*33 + 1)] * [3^(3*66 + 2)] mod 7

=[(2^3)^33 * 2] * [(3^3)^66 * 3^2] mod 7

=(8^33 * 2) * (27^66 * 9) mod 7

=[(7+1)^33 * 2] * [(28-1)^66 * 9] mod 7

=(1^33 * 2)* [(-1)^66 * 9] mod 7

=2*9 mod 7

=4

注意：如果余数有负号，就当做负数一样计算。

我步骤写得很详细，但其实只要是熟练了，基本上只要三四步答案一定就出来了，有没有觉得很简单呢?赶紧找一两题来练练手吧，甚至随便写几个数字来做做试试看，像我上面的例题都是临时编的。